{"last_commit_sha":"2e748e2d5cab534f3d28985b35a867fd6dd4ef53","persisted":true,"title":"puissances","content":" >>> [!note] :light_bulb: Ce qu'il faut retenir 1. **Produit de puissances de même base** : $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 2. **Quotient de puissances de même base** : $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ 3. **Puissance d'un produit** : $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ 4. **Puissance d'un quotient** : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ 5. **Puissance d'une puissance** : $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ 6. **Puissance à exposant négatif** : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ 7. **Puissance nulle** : $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$) >>> ## Introduction aux propriétés des puissances Les puissances constituent un outil fondamental du calcul algébrique, permettant d'écrire de façon concise des multiplications répétées. Par définition, $a^n$ représente le produit de $n$ facteurs identiques de $a$ : $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fois}}$. La maîtrise des propriétés des puissances est essentielle pour simplifier les expressions algébriques complexes, résoudre des équations et manipuler efficacement les formules mathématiques. ### Définitions de base >>> [!tip] Puissance Une **puissance** est une expression de la forme $a^n$ où : - $a$ est la **base** - $n$ est l'**exposant** - Le résultat est appelé **puissance** _Exemples :_ $2^3 = 8$, $\quad x^4$, $\quad (-3)^2 = 9$, $\quad 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$ >>> >>> [!important] Conventions importantes - $a^1 = a$ (l'exposant 1 s'omet généralement) - $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$ - $0^n = 0$ pour tout $n > 0$ - $0^0$ est indéterminé >>> ## 1. Propriétés fondamentales des puissances ### Produit de puissances de même base Lorsqu'on multiplie deux puissances de même base, on **additionne** les exposants. **Formule :** $\boxed{a^m \cdot a^n = a^{m+n}}$ **Exemples :** - $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ - $x^5 \cdot x^2 = x^{5+2} = x^7$ - $3^{-2} \cdot 3^5 = 3^{-2+5} = 3^3 = 27$ ### Quotient de puissances de même base Lorsqu'on divise deux puissances de même base, on **soustrait** les exposants. **Formule :** $\boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$ **Exemples :** - $\dfrac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625$ - $\dfrac{x^8}{x^3} = x^{8-3} = x^5$ - $\dfrac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ ### Puissance d'un produit La puissance d'un produit est égale au produit des puissances. **Formule :** $\boxed{(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n}$ **Exemples :** - $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$ - $(xy)^3 = x^3y^3$ - $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$ ### Puissance d'un quotient La puissance d'un quotient est égale au quotient des puissances. **Formule :** $\boxed{\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}}$ **Exemples :** - $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27}$ - $\left(\dfrac{x}{y}\right)^4 = \dfrac{x^4}{y^4}$ ### Puissance d'une puissance Lorsqu'on élève une puissance à une autre puissance, on **multiplie** les exposants. **Formule :** $\boxed{(a^m)^n = a^{m \cdot n}}$ **Exemples :** - $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$ - $(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$ - $((y^2)^3)^4 = y^{2 \cdot 3 \cdot 4} = y^{24}$ ### Puissance à exposant négatif Une puissance avec un exposant négatif est l'inverse de la même puissance avec l'exposant positif. **Formule :** $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$ **Conséquence :** $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n$ **Exemples :** - $3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$ - $x^{-4} = \dfrac{1}{x^4}$ - $\dfrac{1}{2^{-3}} = 2^3 = 8$ ## 2. Applications et cas complexes ### Simplification d'expressions complexes Pour simplifier des expressions contenant plusieurs puissances, on applique les propriétés dans l'ordre approprié. **Exemple complet :** Simplifions $\dfrac{(2^3 \cdot 3^2)^2}{(2 \cdot 3)^3 \cdot 2^{-1}}$ **Solution étape par étape :** $\dfrac{(2^3 \cdot 3^2)^2}{(2 \cdot 3)^3 \cdot 2^{-1}} = \dfrac{(2^3)^2 \cdot (3^2)^2}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^{-1}} = \dfrac{2^6 \cdot 3^4}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^{-1}} = \dfrac{2^6 \cdot 3^4}{2^{3+(-1)} \cdot 3^3} = \dfrac{2^6 \cdot 3^4}{2^2 \cdot 3^3} = 2^{6-2} \cdot 3^{4-3} = 2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$ ### Cas particuliers à retenir >>> [!warning] Attention aux erreurs courantes **Erreur 1** : Confondre addition et multiplication d'exposants - ❌ $a^m + a^n = a^{m+n}$ - ✅ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ **Erreur 2** : Appliquer la distributivité incorrectement - ❌ $(a + b)^n = a^n + b^n$ - ✅ $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ **Erreur 3** : Mal gérer les signes et les puissances - ❌ $-2^2 = (-2)^2 = 4$ - ✅ $-2^2 = -(2^2) = -4$ >>> ## :film_frames: Vidéos ### Propriétés des puissances [![YouTube](http://i.ytimg.com/vi/eH_key40OFc/hqdefault.jpg)](https://www.youtube.com/watch?v=eH_key40OFc) ### Simplifier des puissances [![YouTube](http://i.ytimg.com/vi/TnPbo7e_ypY/hqdefault.jpg)](https://www.youtube.com/watch?v=TnPbo7e_ypY) ### Puissances négatives [![YouTube](http://i.ytimg.com/vi/P3WCD9EcDiY/hqdefault.jpg)](https://www.youtube.com/watch?v=P3WCD9EcDiY) ### Puissance de nombres négatifs [![YouTube](http://i.ytimg.com/vi/bVDjKQxRskY/hqdefault.jpg)](https://www.youtube.com/watch?v=bVDjKQxRskY) # :memo: Exercices ## :green_circle: Niveau A - minimal Effectuer les calculs suivants en utilisant les propriétés des puissances. >>> --- 1. $\quad 2^3 \cdot 2^4 =$ --- 2. $\quad \dfrac{5^7}{5^3} =$ --- 3. $\quad (3 \cdot 2)^2 =$ --- 4. $\quad \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 =$ --- 5. $\quad (2^2)^3 =$ --- 6. $\quad 4^{-2} =$ --- 7. $\quad 3^0 =$ --- >>>

:check_mark_button: Solutions Niveau A

1. $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = \boxed{128}$ --- 2. $\dfrac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = \boxed{625}$ --- 3. $(3 \cdot 2)^2 = 3^2 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = \boxed{36}$ --- 4. $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} = \boxed{\dfrac{9}{16}}$ --- 5. $(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = \boxed{64}$ --- 6. $4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16} = \boxed{\dfrac{1}{16}}$ --- 7. $3^0 = \boxed{1}$

## :yellow_circle: Niveau B - attendu pour débuter des études ES Simplifier les expressions suivantes en utilisant les propriétés des puissances. >>> --- 1. $\quad 2^5 \cdot 3^2 \cdot 2^{-3} \cdot 3^{-1} =$ --- 2. $\quad \dfrac{(2^3 \cdot 3)^2}{(2 \cdot 3^2)^2} =$ --- 3. $\quad \left(\dfrac{2^3 \cdot 5}{4 \cdot 5^2}\right)^2 =$ --- 4. $\quad (2^{-1} \cdot 3^2)^3 \cdot (2^2 \cdot 3^{-1})^2 =$ --- 5. $\quad \dfrac{(2 \cdot 3)^4}{2^2 \cdot 3^2} \cdot \left(\dfrac{2^{-1}}{3}\right)^2 =$ --- 6. $\quad \dfrac{x^5 \cdot y^{-3}}{x^{-2} \cdot y^2} =$ --- 7. $\quad (a^{-2}b^3)^{-2} \cdot (a^3b^{-1})^2 =$ --- >>>

:check_mark_button: Solutions Niveau B

1. $2^5 \cdot 3^2 \cdot 2^{-3} \cdot 3^{-1} = 2^{5+(-3)} \cdot 3^{2+(-1)} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = \boxed{12}$ --- 2. $\dfrac{(2^3 \cdot 3)^2}{(2 \cdot 3^2)^2} = \dfrac{(2^3)^2 \cdot 3^2}{2^2 \cdot (3^2)^2} = \dfrac{2^6 \cdot 3^2}{2^2 \cdot 3^4} = 2^{6-2} \cdot 3^{2-4} = 2^4 \cdot 3^{-2} = 16 \cdot \dfrac{1}{9} = \boxed{\dfrac{16}{9}}$ --- 3. $\left(\dfrac{2^3 \cdot 5}{4 \cdot 5^2}\right)^2 = \left(\dfrac{2^3 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^2}\right)^2 = \left(2^{3-2} \cdot 5^{1-2}\right)^2 = \left(2^1 \cdot 5^{-1}\right)^2 = 2^2 \cdot 5^{-3} = \dfrac{4}{5^3} = \boxed{\dfrac{4}{125}}$ --- 4. $(2^{-1} \cdot 3^2)^3 \cdot (2^2 \cdot 3^{-1})^2 = 2^{-3} \cdot 3^6 \cdot 2^4 \cdot 3^{-2} = 2^{-3+4} \cdot 3^{6-2} = 2^1 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = \boxed{162}$ --- 5. $\dfrac{(2 \cdot 3)^4}{2^2 \cdot 3^2} \cdot \left(\dfrac{2^{-1}}{3}\right)^2 = \dfrac{2^4 \cdot 3^4}{2^2 \cdot 3^2} \cdot \dfrac{2^{-2}}{3^2} = 2^{4-2} \cdot 3^{4-2} \cdot 2^{-2} \cdot 3^{-2} = 2^{2-2} \cdot 3^{2-2} = 2^0 \cdot 3^0 = \boxed{1}$ --- 6. $\dfrac{x^5 \cdot y^{-3}}{x^{-2} \cdot y^2} = x^{5-(-2)} \cdot y^{-3-2} = x^7 \cdot y^{-5} = \boxed{\dfrac{x^7}{y^5}}$ --- 7. $(a^{-2}b^3)^{-2} \cdot (a^3b^{-1})^2 = a^{-2 \cdot (-2)} \cdot b^{3 \cdot (-2)} \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{-1 \cdot 2} = a^4 \cdot b^{-6} \cdot a^6 \cdot b^{-2} = a^{4+6} \cdot b^{-6-2} = a^{10} \cdot b^{-8} = \boxed{\dfrac{a^{10}}{b^8}}$

## :red_circle: Niveau C - recherché en fin de programme Simplifier les expressions complexes suivantes en utilisant toutes les propriétés des puissances. >>> --- 1. $\quad \left(\dfrac{2^3 \cdot 3^{-2}}{4^{-1} \cdot 9}\right)^2 \cdot \dfrac{(2 \cdot 3)^{-1}}{(2^{-1} \cdot 3^2)^3} =$ --- 2. $\quad \dfrac{(2^{-3} \cdot 3^4)^{-2}}{(2^2 \cdot 3^{-2})^{-3}} \cdot \left(\dfrac{2^{-1} \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^{-1}}\right)^2 =$ --- 3. $\quad \left(2^{-2} \cdot 3^{-1} \cdot 5^2\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{2 \cdot 3^2}{5^{-1} \cdot 2^3}\right)^{-1} =$ --- 4. $\quad \left(\left(\dfrac{2^2 \cdot 3^{-1}}{2^{-1} \cdot 3^2}\right)^2\right)^{-1} \cdot \left(\dfrac{2^{-3}}{3^{-2}}\right)^{-2} =$ --- 5. $\quad \dfrac{(x^{-2}y^3)^{-3} \cdot (x^4y^{-2})^2}{(x^{-1}y)^{-4} \cdot (xy^{-3})^3} =$ --- 6. $\quad \left(\dfrac{a^{-3}b^2c^{-1}}{a^2b^{-1}c^3}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{a^{-1}b^{-2}c^4}{a^3b^{-4}c^{-2}}\right)^3 =$ --- >>>

:check_mark_button: Solutions Niveau C

1. $\left(\dfrac{2^3 \cdot 3^{-2}}{4^{-1} \cdot 9}\right)^2 \cdot \dfrac{(2 \cdot 3)^{-1}}{(2^{-1} \cdot 3^2)^3}$ $= \left(\dfrac{2^3 \cdot 3^{-2}}{2^{-2} \cdot 3^2}\right)^2 \cdot \dfrac{2^{-1} \cdot 3^{-1}}{2^{-3} \cdot 3^6}$ $= \left(2^{3-(-2)} \cdot 3^{-2-2}\right)^2 \cdot 2^{-1-(-3)} \cdot 3^{-1-6}$ $= \left(2^5 \cdot 3^{-4}\right)^2 \cdot 2^2 \cdot 3^{-7}$ $= 2^{10} \cdot 3^{-8} \cdot 2^2 \cdot 3^{-7} = 2^{12} \cdot 3^{-15} = \boxed{\dfrac{2^{12}}{3^{15}} = \dfrac{4096}{14348907}}$ --- 2. $\dfrac{(2^{-3} \cdot 3^4)^{-2}}{(2^2 \cdot 3^{-2})^{-3}} \cdot \left(\dfrac{2^{-1} \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^{-1}}\right)^2$ $= \dfrac{2^6 \cdot 3^{-8}}{2^{-6} \cdot 3^6} \cdot \left(2^{-4} \cdot 3^3\right)^2$ $= 2^{6-(-6)} \cdot 3^{-8-6} \cdot 2^{-8} \cdot 3^6$ $= 2^{12} \cdot 3^{-14} \cdot 2^{-8} \cdot 3^6 = 2^4 \cdot 3^{-8} = \boxed{\dfrac{16}{6561}}$ --- 3. $\left(2^{-2} \cdot 3^{-1} \cdot 5^2\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{2 \cdot 3^2}{5^{-1} \cdot 2^3}\right)^{-1}$ $= 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^{-4} \cdot \dfrac{5^{-1} \cdot 2^3}{2 \cdot 3^2}$ $= 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^{-4} \cdot 2^{3-1} \cdot 3^{-2} \cdot 5^{-1}$ $= 2^{4+2} \cdot 3^{2-2} \cdot 5^{-4-1} = 2^6 \cdot 5^{-5} = \boxed{\dfrac{64}{3125}}$ --- 4. $\left(\left(\dfrac{2^2 \cdot 3^{-1}}{2^{-1} \cdot 3^2}\right)^2\right)^{-1} \cdot \left(\dfrac{2^{-3}}{3^{-2}}\right)^{-2}$ $= \left(\left(2^3 \cdot 3^{-3}\right)^2\right)^{-1} \cdot \left(2^{-3} \cdot 3^2\right)^{-2}$ $= \left(2^6 \cdot 3^{-6}\right)^{-1} \cdot 2^6 \cdot 3^{-4}$ $= 2^{-6} \cdot 3^6 \cdot 2^6 \cdot 3^{-4} = 2^0 \cdot 3^2 = \boxed{9}$ --- 5. $\dfrac{(x^{-2}y^3)^{-3} \cdot (x^4y^{-2})^2}{(x^{-1}y)^{-4} \cdot (xy^{-3})^3}$ $= \dfrac{x^6y^{-9} \cdot x^8y^{-4}}{x^4y^{-4} \cdot x^3y^{-9}}$ $= \dfrac{x^{6+8}y^{-9-4}}{x^{4+3}y^{-4-9}}$ $= \dfrac{x^{14}y^{-13}}{x^7y^{-13}} = x^{14-7}y^{-13-(-13)} = x^7y^0 = \boxed{x^7}$ --- 6. $\left(\dfrac{a^{-3}b^2c^{-1}}{a^2b^{-1}c^3}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{a^{-1}b^{-2}c^4}{a^3b^{-4}c^{-2}}\right)^3$ $= \left(a^{-3-2}b^{2-(-1)}c^{-1-3}\right)^{-2} \cdot \left(a^{-1-3}b^{-2-(-4)}c^{4-(-2)}\right)^3$ $= \left(a^{-5}b^3c^{-4}\right)^{-2} \cdot \left(a^{-4}b^2c^6\right)^3$ $= a^{10}b^{-6}c^8 \cdot a^{-12}b^6c^{18}$ $= a^{10-12}b^{-6+6}c^{8+18} = a^{-2}b^0c^{26} = \boxed{\dfrac{c^{26}}{a^2}}$

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