mono_poly.md

+---
+title: Propriétés des monômes et polynômes
+---
+
+>>> [!note] :light_bulb: Ce qu'il faut retenir
+1. **Monôme** : Expression algébrique composée d'un coefficient, de variables et d'exposants
+2. **Degré d'un monôme** : Somme des exposants de toutes ses variables
+3. **Monômes semblables** : Même partie littérale (variables et exposants identiques)
+4. **Polynôme** : Somme de monômes
+5. **Réduction** : Additionner les coefficients des monômes semblables
+6. **Ordonnancement** : Classer par ordre décroissant des exposants
+>>>
+
+## Introduction aux monômes et polynômes
+
+Les monômes et polynômes sont des expressions algébriques fondamentales qui constituent la base du calcul littéral. Leur maîtrise est essentielle pour résoudre des équations, factoriser et simplifier des expressions mathématiques.
+
+### Définitions de base
+
+**Monôme** : Expression algébrique composée de :
+- Un **coefficient** (partie numérique)
+- Des **variables** (partie littérale)  
+- Des **exposants** (puissances des variables)
+
+**Exemples :** $5$, $x$, $3x$, $-7x^2$, $4x^3y^2$
+
+**Polynôme** : Somme de monômes
+
+**Exemples :** $3x^2 + 2x - 1$, $5y^3 - 2y + 7$, $x^2 + 3xy - 4y^2$
+
+### Conventions d'écriture
+
+Pour simplifier l'écriture des expressions algébriques :
+
+- **Multiplication** : On ne met pas le symbole × 
+  - Entre coefficient et variable : $2 \cdot x \to 2x$
+  - Entre variables : $x \cdot y \to xy$
+  - Avec parenthèses : $2 \cdot (x+3) \to 2(x+3)$
+
+- **Coefficient 1** : On l'omet
+  - $1 \cdot x \to x$
+  - $-1 \cdot x \to -x$
+
+- **Exposant 1** : On l'omet
+  - $x^1 \to x$
+
+## 1. Propriétés des monômes
+
+### Degré d'un monôme
+
+Le **degré** d'un monôme est la somme des exposants de toutes ses variables.
+
+**Exemples :**
+- $5x^2$ a un degré de $2$
+- $3x^2y^3$ a un degré de $2 + 3 = 5$
+- $-4x^2y^2z$ a un degré de $2 + 2 + 1 = 5$
+
+### Monômes semblables
+
+Deux monômes sont **semblables** s'ils ont la même partie littérale (variables et exposants identiques).
+
+**Exemples :**
+- $3x^2y$ et $-5x^2y$ sont semblables
+- $2x^3$ et $7x^3$ sont semblables
+- $4xy^2$ et $-xy^2$ sont semblables
+
+### Réduction d'un monôme
+
+Pour réduire un monôme :
+
+1. **Simplifier le coefficient** : Effectuer les opérations numériques
+2. **Regrouper les variables** : Additionner les exposants des variables identiques
+3. **Ordonner** : Placer les variables par ordre alphabétique
+
+**Exemple :** $2 \cdot 3x^2 \cdot x \cdot y^2 \cdot 4y$
+$= (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot x^{2+1} \cdot y^{2+1}$
+$= 24x^3y^3$
+
+## 2. Propriétés des polynômes
+
+### Degré d'un polynôme
+
+Le **degré** d'un polynôme est le plus grand degré de ses monômes.
+
+**Exemple :** $3x^4 + 2x^2 - 5x + 1$ est de degré $4$
+
+### Types de polynômes
+
+- **Monôme** : Un seul terme ($3x^2$)
+- **Binôme** : Deux termes ($2x + 3$)
+- **Trinôme** : Trois termes ($x^2 + 2x + 1$)
+
+### Réduction d'un polynôme
+
+Pour réduire un polynôme :
+
+1. **Réduire chaque monôme** individuellement
+2. **Regrouper les monômes semblables**
+3. **Additionner les coefficients** des monômes semblables
+4. **Ordonner** par ordre décroissant des exposants
+
+**Exemple :** $2x^2 + 3x + 5x^2 - 2x + 1$
+$= (2 + 5)x^2 + (3 - 2)x + 1$
+$= 7x^2 + x + 1$
+
+### Ordonnancement d'un polynôme
+
+Un polynôme s'ordonne généralement par ordre **décroissant** des exposants de la variable principale.
+
+**Exemple :** $5 + 2x - 3x^3 + x^2$ devient $-3x^3 + x^2 + 2x + 5$
+
+## 3. Opérations sur les monômes et polynômes
+
+### Addition et soustraction
+
+**Règle** : On ne peut additionner ou soustraire que des monômes semblables.
+
+**Exemples :**
+- $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$
+- $7xy - 2xy = 5xy$
+- $4x^2 + 3x$ ne peut pas être réduit davantage
+
+### Multiplication de monômes
+
+Pour multiplier des monômes :
+1. Multiplier les coefficients
+2. Additionner les exposants des variables identiques
+
+**Exemple :** $3x^2y \cdot 4xy^3 = (3 \cdot 4) \cdot x^{2+1} \cdot y^{1+3} = 12x^3y^4$
+
+### Exemples complets
+
+**Exemple 1 :** Réduire $2x^2 \cdot 3x \cdot y^2 \cdot 5y$
+Solution : $(2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot x^{2+1} \cdot y^{2+1} = 30x^3y^3$
+
+**Exemple 2 :** Ordonner $3 + 2x^3 - 5x + x^2$
+Solution : $2x^3 + x^2 - 5x + 3$
+
+**Exemple 3 :** Réduire $4x^2 + 3xy - 2x^2 + 5xy - 1$
+Solution : $(4-2)x^2 + (3+5)xy - 1 = 2x^2 + 8xy - 1$
+
+## :film_frames: Vidéos
+
+Introduction aux monômes et polynômes
+
+[![YouTube](http://i.ytimg.com/vi/VqzWVOOcT-g/hqdefault.jpg)](https://www.youtube.com/watch?v=VqzWVOOcT-g)
+
+Réduction et ordonnancement
+
+[![YouTube](http://i.ytimg.com/vi/PUvvWNUDHso/hqdefault.jpg)](https://www.youtube.com/watch?v=PUvvWNUDHso)
+
+Opérations sur les polynômes
+
+[![YouTube](http://i.ytimg.com/vi/1Uq3oaLVxQM/hqdefault.jpg)](https://www.youtube.com/watch?v=1Uq3oaLVxQM)
+
+# :memo: Exercices :
+
+## :green_circle: Niveau A - minimal
+
+>>>
+---
+1. Quel est le degré du monôme $3x^2y^3$ ?
+---
+2. Les monômes $2x^2y$ et $-5x^2y$ sont-ils semblables ?
+---
+3. Réduire le monôme : $2x \cdot 3x^2 \cdot y$
+---
+4. Ordonner le polynôme : $5 + 2x - 3x^2$
+---
+5. Réduire : $4x^2 + 3x^2$
+---
+>>>
+
+<details>
+<summary>:check_mark_button: Solutions Niveau A</summary>
+
+1. $\text{Degré} = 2 + 3 = 5$
+---
+2. Oui, ils ont la même partie littérale $x^2y$
+---
+3. $2x \cdot 3x^2 \cdot y = (2 \cdot 3) \cdot x^{1+2} \cdot y = 6x^3y$
+---
+4. $-3x^2 + 2x + 5$
+---
+5. $4x^2 + 3x^2 = 7x^2$
+
+</details>
+
+## :yellow_circle: Niveau B - attendu pour débuter des études ES
+
+>>>
+---
+1. Réduire et ordonner : $3x^2 + 2xy - x^2 + 5xy - 2y^2$
+---
+2. Calculer : $2x^2y \cdot 3xy^2 \cdot 4x$
+---
+3. Réduire : $5x^3 - 2x^2 + 3x - x^3 + 4x^2 - 2x + 1$
+---
+4. Quel est le degré du polynôme : $2x^3y^2 - 5x^2y + 3xy^3 - 1$ ?
+---
+5. Simplifier : $(2x^2y^3) \cdot (3xy) \cdot (-2y^2)$
+---
+>>>
+
+<details>
+<summary>:check_mark_button: Solutions Niveau B</summary>
+
+1. $3x^2 + 2xy - x^2 + 5xy - 2y^2 = (3-1)x^2 + (2+5)xy - 2y^2 = 2x^2 + 7xy - 2y^2$
+---
+2. $2x^2y \cdot 3xy^2 \cdot 4x = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot x^{2+1+1} \cdot y^{1+2} = 24x^4y^3$
+---
+3. $5x^3 - 2x^2 + 3x - x^3 + 4x^2 - 2x + 1 = (5-1)x^3 + (-2+4)x^2 + (3-2)x + 1 = 4x^3 + 2x^2 + x + 1$
+---
+4. Degrés des termes : $2x^3y^2 \to 3+2=5$, $5x^2y \to 2+1=3$, $3xy^3 \to 1+3=4$, $1 \to 0$. Le degré est $5$.
+---
+5. $(2x^2y^3) \cdot (3xy) \cdot (-2y^2) = (2 \cdot 3 \cdot (-2)) \cdot x^{2+1} \cdot y^{3+1+2} = -12x^3y^6$
+
+</details>
+
+## :red_circle: Niveau C - recherché en fin de programme
+
+>>>
+---
+1. Réduire et ordonner : $2x^3y - 3x^2y^2 + xy^3 - x^3y + 2x^2y^2 - 3xy^3 + 5x^3y$
+---
+2. Calculer : $(2x^2y^3z) \cdot (-3xy^2z^2) \cdot (4x^3yz)$
+---
+3. Simplifier : $3x^2(2x^3y) - 2x(x^4y) + 5x^3(xy) - 4x^2(x^3y)$
+---
+4. Réduire : $a^2b^3 - 2ab^2 + 3a^3b - ab^2 + 2a^2b^3 - a^3b + 5ab^2$
+---
+5. Ordonner selon les puissances décroissantes de $x$ : $2xy^3 - 3x^2y + x^3 + 5y^2 - 4x^2y^2 + 7xy$
+---
+>>>
+
+<details>
+<summary>:check_mark_button: Solutions Niveau C</summary>
+
+1. $2x^3y - 3x^2y^2 + xy^3 - x^3y + 2x^2y^2 - 3xy^3 + 5x^3y$
+   $= (2-1+5)x^3y + (-3+2)x^2y^2 + (1-3)xy^3$
+   $= 6x^3y - x^2y^2 - 2xy^3$
+---
+2. $(2x^2y^3z) \cdot (-3xy^2z^2) \cdot (4x^3yz)$
+   $= (2 \cdot (-3) \cdot 4) \cdot x^{2+1+3} \cdot y^{3+2+1} \cdot z^{1+2+1}$
+   $= -24x^6y^6z^4$
+---
+3. $3x^2(2x^3y) - 2x(x^4y) + 5x^3(xy) - 4x^2(x^3y)$
+   $= 6x^5y - 2x^5y + 5x^4y - 4x^5y$
+   $= (6-2-4)x^5y + 5x^4y$
+   $= 0x^5y + 5x^4y = 5x^4y$
+---
+4. $a^2b^3 - 2ab^2 + 3a^3b - ab^2 + 2a^2b^3 - a^3b + 5ab^2$
+   $= (1+2)a^2b^3 + (-2-1+5)ab^2 + (3-1)a^3b$
+   $= 3a^2b^3 + 2ab^2 + 2a^3b$
+   $= 2a^3b + 3a^2b^3 + 2ab^2$
+---
+5. $2xy^3 - 3x^2y + x^3 + 5y^2 - 4x^2y^2 + 7xy$
+   Selon les puissances décroissantes de $x$ :
+   $= x^3 + (-3x^2y - 4x^2y^2) + (2xy^3 + 7xy) + 5y^2$
+   $= x^3 - 3x^2y - 4x^2y^2 + 2xy^3 + 7xy + 5y^2$
+
+</details>
\ No newline at end of file