mono_poly.md

@@ -190,30 +190,42 @@ Opérations sur les polynômes
 
 >>>
 ---
-1. Réduire et ordonner : $3x^2 + 2xy - x^2 + 5xy - 2y^2$
+1. Réduire et ordonner : $\dfrac{2x^3}{3} \cdot \dfrac{9xy^2}{4} - \dfrac{x^4y^2}{2} + \dfrac{3x^3y}{2} \cdot \dfrac{2y}{3}$
 ---
-2. Calculer : $2x^2y \cdot 3xy^2 \cdot 4x$
+2. Simplifier : $(2x^2y^{-1})^3 \cdot (x^{-1}y^2)^2 \cdot 3xy^{-2}$
 ---
-3. Réduire : $5x^3 - 2x^2 + 3x - x^3 + 4x^2 - 2x + 1$
+3. Réduire : $\dfrac{4x^3y^2 - 6x^2y^3}{2xy} + \dfrac{3x^2y - 9xy^2}{3y}$
 ---
-4. Quel est le degré du polynôme : $2x^3y^2 - 5x^2y + 3xy^3 - 1$ ?
+4. Calculer : $(-2x^2y)^3 \cdot (3xy^{-2})^2 \cdot \dfrac{x^{-1}y^3}{4}$
 ---
-5. Simplifier : $(2x^2y^3) \cdot (3xy) \cdot (-2y^2)$
+5. Ordonner selon $x$ décroissant : $\dfrac{3xy^2}{2} - \dfrac{x^3}{4} + \dfrac{2x^2y}{3} - \dfrac{5y^3}{6} + x^{-1}y$
 ---
 >>>
 
 <details>
 <summary>:check_mark_button: Solutions Niveau B</summary>
 
-1. $3x^2 + 2xy - x^2 + 5xy - 2y^2 = (3-1)x^2 + (2+5)xy - 2y^2 = 2x^2 + 7xy - 2y^2$
+1. $\dfrac{2x^3}{3} \cdot \dfrac{9xy^2}{4} - \dfrac{x^4y^2}{2} + \dfrac{3x^3y}{2} \cdot \dfrac{2y}{3}$
+  $= \dfrac{18x^4y^2}{12} - \dfrac{x^4y^2}{2} + \dfrac{6x^3y^2}{6}$
+  $= \dfrac{3x^4y^2}{2} - \dfrac{x^4y^2}{2} + x^3y^2$
+  $= \dfrac{2x^4y^2}{2} + x^3y^2 = x^4y^2 + x^3y^2 = x^3y^2(x + 1)$
 ---
-2. $2x^2y \cdot 3xy^2 \cdot 4x = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot x^{2+1+1} \cdot y^{1+2} = 24x^4y^3$
+2. $(2x^2y^{-1})^3 \cdot (x^{-1}y^2)^2 \cdot 3xy^{-2}$
+  $= 2^3x^6y^{-3} \cdot x^{-2}y^4 \cdot 3xy^{-2}$
+  $= 8x^6y^{-3} \cdot x^{-2}y^4 \cdot 3xy^{-2}$
+  $= (8 \cdot 3)x^{6-2+1}y^{-3+4-2} = 24x^5y^{-1} = \dfrac{24x^5}{y}$
 ---
-3. $5x^3 - 2x^2 + 3x - x^3 + 4x^2 - 2x + 1 = (5-1)x^3 + (-2+4)x^2 + (3-2)x + 1 = 4x^3 + 2x^2 + x + 1$
+3. $\dfrac{4x^3y^2 - 6x^2y^3}{2xy} + \dfrac{3x^2y - 9xy^2}{3y}$
+  $= \dfrac{4x^3y^2}{2xy} - \dfrac{6x^2y^3}{2xy} + \dfrac{3x^2y}{3y} - \dfrac{9xy^2}{3y}$
+  $= 2x^2y - 3xy^2 + x^2 - 3xy = x^2(2y + 1) - 3xy(y + 1)$
 ---
-4. Degrés des termes : $2x^3y^2 \to 3+2=5$, $5x^2y \to 2+1=3$, $3xy^3 \to 1+3=4$, $1 \to 0$. Le degré est $5$.
+4. $(-2x^2y)^3 \cdot (3xy^{-2})^2 \cdot \dfrac{x^{-1}y^3}{4}$
+  $= (-2)^3x^6y^3 \cdot 3^2x^2y^{-4} \cdot \dfrac{x^{-1}y^3}{4}$
+  $= -8x^6y^3 \cdot 9x^2y^{-4} \cdot \dfrac{x^{-1}y^3}{4}$
+  $= \dfrac{-8 \cdot 9}{4}x^{6+2-1}y^{3-4+3} = -18x^7y^2$
 ---
-5. $(2x^2y^3) \cdot (3xy) \cdot (-2y^2) = (2 \cdot 3 \cdot (-2)) \cdot x^{2+1} \cdot y^{3+1+2} = -12x^3y^6$
+5. $\dfrac{3xy^2}{2} - \dfrac{x^3}{4} + \dfrac{2x^2y}{3} - \dfrac{5y^3}{6} + x^{-1}y$
+  Ordre décroissant selon $x$ : $-\dfrac{x^3}{4} + \dfrac{2x^2y}{3} + \dfrac{3xy^2}{2} + x^{-1}y - \dfrac{5y^3}{6}$
 
 </details>
 
@@ -221,42 +233,67 @@ Opérations sur les polynômes
 
 >>>
 ---
-1. Réduire et ordonner : $2x^3y - 3x^2y^2 + xy^3 - x^3y + 2x^2y^2 - 3xy^3 + 5x^3y$
+1. Simplifier : $\dfrac{(2x^{-2}y^3)^{-2} \cdot (3x^3y^{-1})^2}{(x^{-1}y^2)^{-3} \cdot (2xy^{-2})^2} \cdot \dfrac{4x^{-1}y}{(xy)^{-2}}$
 ---
-2. Calculer : $(2x^2y^3z) \cdot (-3xy^2z^2) \cdot (4x^3yz)$
+2. Réduire et factoriser : $\dfrac{x^3y^2 - 2x^2y^3}{xy^2} - \dfrac{3x^2y - 6xy^2}{xy} + \dfrac{4x^4y^3 - 8x^3y^4}{2x^2y^3}$
 ---
-3. Simplifier : $3x^2(2x^3y) - 2x(x^4y) + 5x^3(xy) - 4x^2(x^3y)$
+3. Développer et réduire : $(2x^{-1}y^2 + 3xy^{-1})^2 - (x^{-1}y^2)^2 \cdot 4$
 ---
-4. Réduire : $a^2b^3 - 2ab^2 + 3a^3b - ab^2 + 2a^2b^3 - a^3b + 5ab^2$
+4. Simplifier l'expression : $\left(\dfrac{(2x^2y^{-1})^3 \cdot (xy^2)^{-2}}{(x^{-1}y)^{-2} \cdot (3xy^{-1})^2}\right)^{-1} \cdot \dfrac{(2xy)^{-3}}{(x^{-2}y^{-1})^{-2}}$
 ---
-5. Ordonner selon les puissances décroissantes de $x$ : $2xy^3 - 3x^2y + x^3 + 5y^2 - 4x^2y^2 + 7xy$
+5. Ordonner selon les puissances décroissantes de $x$ et factoriser : $\dfrac{3x^3y^2}{2} - \dfrac{6x^2y^3}{4} + \dfrac{9xy^4}{6} - \dfrac{12y^5}{8} + \dfrac{x^4y}{2} - \dfrac{2x^2y^3}{3}$
 ---
 >>>
 
 <details>
 <summary>:check_mark_button: Solutions Niveau C</summary>
 
-1. $2x^3y - 3x^2y^2 + xy^3 - x^3y + 2x^2y^2 - 3xy^3 + 5x^3y$
-   $= (2-1+5)x^3y + (-3+2)x^2y^2 + (1-3)xy^3$
-   $= 6x^3y - x^2y^2 - 2xy^3$
+1. $\dfrac{(2x^{-2}y^3)^{-2} \cdot (3x^3y^{-1})^2}{(x^{-1}y^2)^{-3} \cdot (2xy^{-2})^2} \cdot \dfrac{4x^{-1}y}{(xy)^{-2}}$
+  
+  Numérateur : $(2x^{-2}y^3)^{-2} \cdot (3x^3y^{-1})^2 = 2^{-2}x^4y^{-6} \cdot 9x^6y^{-2} = \dfrac{9x^{10}y^{-8}}{4}$
+  
+  Dénominateur : $(x^{-1}y^2)^{-3} \cdot (2xy^{-2})^2 = x^3y^{-6} \cdot 4x^2y^{-4} = 4x^5y^{-10}$
+  
+  Fraction supplémentaire : $\dfrac{4x^{-1}y}{(xy)^{-2}} = \dfrac{4x^{-1}y}{x^{-2}y^{-2}} = 4xy^3$
+  
+  Résultat : $\dfrac{9x^{10}y^{-8}}{4} \cdot \dfrac{1}{4x^5y^{-10}} \cdot 4xy^3 = \dfrac{9x^{10}y^{-8} \cdot xy^3}{4x^5y^{-10}} = \dfrac{9x^{11}y^{-5}}{4x^5y^{-10}} = \dfrac{9x^6y^5}{4}$
 ---
-2. $(2x^2y^3z) \cdot (-3xy^2z^2) \cdot (4x^3yz)$
-   $= (2 \cdot (-3) \cdot 4) \cdot x^{2+1+3} \cdot y^{3+2+1} \cdot z^{1+2+1}$
-   $= -24x^6y^6z^4$
+2. $\dfrac{x^3y^2 - 2x^2y^3}{xy^2} - \dfrac{3x^2y - 6xy^2}{xy} + \dfrac{4x^4y^3 - 8x^3y^4}{2x^2y^3}$
+  
+  $= \dfrac{x^3y^2}{xy^2} - \dfrac{2x^2y^3}{xy^2} - \dfrac{3x^2y}{xy} + \dfrac{6xy^2}{xy} + \dfrac{4x^4y^3}{2x^2y^3} - \dfrac{8x^3y^4}{2x^2y^3}$
+  
+  $= x^2 - 2xy - 3x + 6y + 2x^2 - 4xy$
+  
+  $= 3x^2 - 6xy - 3x + 6y = 3x(x - 2y - 1) + 6y = 3(x^2 - 2xy - x + 2y)$
+  
+  $= 3[x(x - 2y - 1) + 2y] = 3[x(x - 1) - 2y(x - 1)] = 3(x - 1)(x - 2y)$
 ---
-3. $3x^2(2x^3y) - 2x(x^4y) + 5x^3(xy) - 4x^2(x^3y)$
-   $= 6x^5y - 2x^5y + 5x^4y - 4x^5y$
-   $= (6-2-4)x^5y + 5x^4y$
-   $= 0x^5y + 5x^4y = 5x^4y$
+3. $(2x^{-1}y^2 + 3xy^{-1})^2 - (x^{-1}y^2)^2 \cdot 4$
+  
+  $= (2x^{-1}y^2)^2 + 2 \cdot 2x^{-1}y^2 \cdot 3xy^{-1} + (3xy^{-1})^2 - 4x^{-2}y^4$
+  
+  $= 4x^{-2}y^4 + 12y + 9x^2y^{-2} - 4x^{-2}y^4$
+  
+  $= 12y + 9x^2y^{-2} = 12y + \dfrac{9x^2}{y^2}$
 ---
-4. $a^2b^3 - 2ab^2 + 3a^3b - ab^2 + 2a^2b^3 - a^3b + 5ab^2$
-   $= (1+2)a^2b^3 + (-2-1+5)ab^2 + (3-1)a^3b$
-   $= 3a^2b^3 + 2ab^2 + 2a^3b$
-   $= 2a^3b + 3a^2b^3 + 2ab^2$
+4. $\left(\dfrac{(2x^2y^{-1})^3 \cdot (xy^2)^{-2}}{(x^{-1}y)^{-2} \cdot (3xy^{-1})^2}\right)^{-1} \cdot \dfrac{(2xy)^{-3}}{(x^{-2}y^{-1})^{-2}}$
+  
+  Fraction intérieure : $\dfrac{8x^6y^{-3} \cdot x^{-2}y^{-4}}{x^2y^{-2} \cdot 9x^2y^{-2}} = \dfrac{8x^4y^{-7}}{9x^4y^{-4}} = \dfrac{8y^{-3}}{9y^{-4}} = \dfrac{8y}{9}$
+  
+  Inverse : $\left(\dfrac{8y}{9}\right)^{-1} = \dfrac{9}{8y}$
+  
+  Fraction finale : $\dfrac{(2xy)^{-3}}{(x^{-2}y^{-1})^{-2}} = \dfrac{8^{-1}x^{-3}y^{-3}}{x^4y^2} = \dfrac{1}{8x^7y^5}$
+  
+  Résultat : $\dfrac{9}{8y} \cdot \dfrac{1}{8x^7y^5} = \dfrac{9}{64x^7y^6}$
 ---
-5. $2xy^3 - 3x^2y + x^3 + 5y^2 - 4x^2y^2 + 7xy$
-   Selon les puissances décroissantes de $x$ :
-   $= x^3 + (-3x^2y - 4x^2y^2) + (2xy^3 + 7xy) + 5y^2$
-   $= x^3 - 3x^2y - 4x^2y^2 + 2xy^3 + 7xy + 5y^2$
+5. $\dfrac{3x^3y^2}{2} - \dfrac{6x^2y^3}{4} + \dfrac{9xy^4}{6} - \dfrac{12y^5}{8} + \dfrac{x^4y}{2} - \dfrac{2x^2y^3}{3}$
+  
+  $= \dfrac{x^4y}{2} + \dfrac{3x^3y^2}{2} + x^2y^3\left(-\dfrac{6}{4} - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{3xy^4}{2} - \dfrac{3y^5}{2}$
+  
+  $= \dfrac{x^4y}{2} + \dfrac{3x^3y^2}{2} + x^2y^3\left(-\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{3xy^4}{2} - \dfrac{3y^5}{2}$
+  
+  $= \dfrac{x^4y}{2} + \dfrac{3x^3y^2}{2} - \dfrac{13x^2y^3}{6} + \dfrac{3xy^4}{2} - \dfrac{3y^5}{2}$
+  
+  Factorisation : $= \dfrac{y}{6}(3x^4 + 9x^3y - 13x^2y^2 + 9xy^3 - 9y^4)$
 
 </details>
\ No newline at end of file